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EL TRIANGULO DE PASCAL Y EL TRIANGULO DE SIERPINSKI

<hr>EL TRIANGULO DE PASCAL Y EL TRIANGULO DE SIERPINSKI

     El triángulo de Pascal (matemático francés) es una construcción matemática muy simple pero con un sinfín de propiedades. En 1654, Blaise Pascal escribió un tratado sobre sus propiedades aritméticas. En  la cúspide del triángulo si sitúa el número 1, en la fila inmediatamente inferior se colocan dos 1 a ambos lados. La siguiente fila tiene 1 en los extremos y los números interiores son la suma de los dos números inmediatamente superiores. Y así con todas las filas.

     El triángulo de Sierpinski (matemático polaco) es un fractal que se construye a partir de un triángulo cualquiera. Si unimos los puntos medios de cada lado, tendremos al triángulo dividido en cuatro triángulos. Entonces eliminamos el triángulo central en color blanco. Este proceso lo repetimos con los otros tres triángulos de color negro. Y así de manera indefinida. El resultado es una figura con la cualidad de que una pequeña parte de ella es igual a la totalidad de la figura.

     Pero, ¿qué relación tienen los dos triángulos, cuando uno de ellos se construye aritméticamente y el otro geométricamente? Si nos fijamos en el triángulo de Pascal y eliminamos los números pares el triángulo de Pascal cumple el mismo patrón que el triángulo de Sierpinski.

     Es un descubrimiento que pone de manifiesto la conexión entre diferentes materias de las matemáticas donde la repetición de patrones y armonía son habituales.

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.

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¿Un poliedro puede ser un cuerpo flexible?

Un poliedro es un sólido cuyas caras son polígonos planos. Los poliedros más conocidos son los poliedros regulares convexos, también llamados sólidos platónicos, que se caracterizan porque son convexos (sin entrantes), las caras son triángulos equiláteros, cuadrados o pentágonos regulares, todas las caras son iguales y en cada vértice se unen el mismo número de caras. El filósofo griego Platón fue el primero que los estudió y son exactamente cinco: tetraedro (4 caras con triángulos equiláteros), hexaedro o cubo (6 caras cuadradas), octaedro (8 triángulos equiláteros), dodecaedro (12 pentágonos regulares) e icosaedro (20 triángulos equiláteros). Para ver sus características consulta:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sólidos_platónicos#Tabla_comparativa

Los poliedros convexos y en particular, los sólidos platónicos, son rígidos. Es decir, no se pueden flexionar sin deformar las caras que lo delimitan. Esta propiedad fue demostrada por Cauchy en 1813. Sin embargo, hasta 1977 no se supo si también los poliedros no convexos eran rígidos. Fue Robert Connelly quien descubrió un poliedro no rígido de 18 caras. Klaus Steffen descubrió un poliedro flexible de 14 caras triangulares. Por lo tanto, existen poliedros flexibles que por supuesto tienen entrantes porque no pueden ser convexos.

En http://www.youtube.com/watch?v=OH2kg8zjcqk y en http://www.youtube.com/watch?v=RwoaG9mtGMc puedes ver el poliedro flexible de Steffen, que además tiene la propiedad de ser el poliedro flexible con el menor número de caras.



Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.



CONJETURA DE LOS NÚMEROS PRIMOS SOBREESTIMADOS

Un número primo es un número natural (los que usamos para contar) que sólo es divisible por sí mismo y el uno. Por ejemplo el 7 es un número primo porque sólo se puede dividir por 7 o por 1. En cambio, el número 6 no es un número primo porque se puede dividir por 2 o por 3 además de por el 6 y el 1.

Cualquier número natural se puede obtener por la multiplicación de unos cuantos números primos. Por ejemplo, el 30 es el resultado de multiplicar los números primos 2, 3 y 5 (30 = 2 x 3 x 5). Esta propiedad fue demostrada por Euclides en el siglo IV antes de Cristo. Eso hace pensar que los números primos son los "ladrillos de un edificio" con todos los números cardinales.

Con un poco de paciencia podríamos descubrir que entre el 0 y el 100 hay veinticinco números primos, pero entre 10.000.000 y 10.000.100 sólo hay dos números primos. Y en general, los números primos cada vez se hacen más difíciles de encontrar, son menos frecuentes. En el 1791, Carl Gauss, a la edad de 14 años, obtuvo una fórmula para predecir la frecuencia de aparición de los números primos. Haciendo comprobaciones, hasta el número un billón, la fórmula de Gauss indicaba que habría más cantidad de números primos de los que en realidad existían. Parecía que la fórmula de Gauss sobreestimaba la cantidad de números de primos que había hasta un número dado.

Sorprendentemente, en 1955, el matemático Skewes demostró que sucedía lo contrario a partir de un número grandísimo al que se le llamó el número de Skewes. Es decir comprobó que la cantidad de números primos menores que el número de Skewes era superior a los que predecía la fórmula de Gauss. Y que a partir de dicho número la fórmula de Gauss infraestimaba la cantidad de números primos.

Este es uno de los muchos ejemplos en matemáticas donde suponer algo con unos pocos números no indica que sea cierto con la infinidad de todos ellos.

 

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.

 


REPARTIR UNA COLECCIÓN DE MONEDAS

<hr>REPARTIR UNA COLECCIÓN DE MONEDAS

El padre de varios hijos decide repartir una colección de monedas de plata entre ellos. Los reúne a todos y le dice a su primer hijo que tome una moneda y una séptima parte del resto. A su segundo hijo le dice que tome dos monedas y de la parte restante, otra séptima parte. Su tercer hijo tomó tres monedas y una séptima parte del resto. Y así sucesivamente, con todos sus hijos. Si todos sus hijos recibieron la misma cantidad de monedas, ¿cuántas monedas tenía la colección y cuántos hijos tenía el padre?

Este problema fue publicado por Leonardo Fibonnacci en su libro "Liber abaci" (Libro del ábaco) el año 1202. En él, explica como realizar operaciones aritméticas utilizando la numeración indoarábiga en lugar de los números romanos.

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.

ADIVINA LA EDAD DE LA ABUELA

Un reportero que estaba entrevistando a varias personas por la calle, le preguntó la edad a una señora mayor. La señora muy indignada ante tal pregunta, le dijo que tendría que adivinársela y para ello le dio dos pistas. La primera era que tenía más de 50 años y menos de 70 años. La segunda pista fue que tenía tantos años como el número de hijos y nietos, todos juntos.

El reportero sorprendido y sin saber cómo resolver el enigma le pidió una tercera pista. La señora accedió explicándole que cada uno de sus hijos tenía tantos hijos como hermanos.

¿Puedes decirnos la edad de la señora mayor? ¿cuántos hijos tiene?

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.

NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es aquél que no es un número entero y no puede expresarse como división exacta de dos números enteros. Por ejemplo los números 3, 1890 ó 2'5 = 5 / 2 no son números irracionales. Un número irracional es un número con infinitos decimales que en ningún caso se repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos decimales iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es el resultado de dividir 4 entre 3 y los decimales se repiten periódicamente.

Entre los número irracionales tenemos como ejemplo algunas raíces cuadradas muy simples como Raíz cuadrada de 2 = 1,41421356237... que tiene infinitos decimales de manera que no existe ninguna secuencia de ellos que se repitan. También es irracional Raíz cuadrada de 5 = 2,236067977...

Aunque la raíz cuadrada de 2 sea difícil de escribir ya que tiene infinitos decimales, es en cambio muy fácil de representar geométricamente a partir de un cuadrado de lado uno. La diagonal de dicho cuadrado tiene como longitud la raíz cuadrada de 2. Este resultado es consecuencia del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo rectángulo con dos catetos iguales de lado uno.

¿Cómo obtendríamos geométricamente la raíz cuadrada de tres?

 

Pista: Se trata de construir un triángulo rectángulo adecuado.

 

Solución: http://picasaweb.google.com/murillodma/BlogCienciaYTCnicaHttpCienciaytecnicaBlogiaCom

Ver primer comentario para complementar la solución. 

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.

TERNAS PITAGÓRICAS

TERNAS PITAGÓRICAS

Una terna pitagórica son tres números enteros (1, 2, 3, 4, etc.) que cumplen el teorema de Pitágoras o dicho de otra manera que forman los lados de un triángulo rectángulo. Algebraicamente una terna pitagórica (a,b,c) son tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras (ver imagen superior).

A a y b son los catetos y c la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman.

La terna más conocida y más simple es (3, 4, 5) ya que 3*3 + 4*4 = 5*5. Hay otras ternas fáciles de obtener como (6, 8, 10) por la misma razón, 6*6 + 8*8 = 10*10.

Si (a,b,c) es una terna también lo será (d*a, d*b, d*c) donde d es cualquier número entero. En el ejemplo anterior d era igual a 2.

(3, 4, 5) es una terna en la que los dos catetos a y b son consecutivos, es decir b=a+1. Os propongo que obtengáis otra terna pitagórica con catetos consecutivos.

Pista: c = 29 (Solución en el primer comentario)

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.

EL ATLETA Y LA POLEA

EL ATLETA Y LA POLEA

 Un atleta (en el dibujo m1) quiere subir por el extremo de la cuerda de una polea hasta alcanzarla. En el otro extremo hay una viga de hierro (en el dibujo m2) que pesa lo mismo que la persona (m1 = m2).

Si la cuerda tiene 4 metros de altura y el atleta sube a una velocidad de un metro por segundo. ¿Cuántos segundos tardará en subir y tocar la polea?  

Pista:

Los pesos se equilibran

Solución en el primer comentario.

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz. 

UN PROBLEMA DE AREAS Y PERIMETROS

Si tenemos 60 baldosas cuadradas podremos pavimentar un patio de 10 baldosas de ancho por 6 de largo, o bien un patio de 15 baldosas de ancho por 4 baldosas de largo.En resumen, el área de un rectángulo es Ancho x Largo y 15 x 4 = 10 x 6 = 60.

Por otro lado, llamamos perímetro a la suma de los lados, por ejemplo del rectángulo formado por 10 baldosas de ancho y 6 de largo, su perímetro es de 10 + 6 + 10 + 6 = 32.

 ¿Cuál sería la disposición de las 60 baldosas para tener un perímetro de 34 baldosas? 

 

Solución: Ver el primer comentario

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz. 

UNA SERIE INFINITA

Una serie infinita es sumar y restar un número infinito de números. En matemáticas lo infinito es una entidad ciertamente paradójica como comprobaréis al tratar la siguiente serie infinita:

 

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ....

 

¿cuál es el resultado de esta serie infinita de sumas y restas?

 

Pista: Sumar primero cinco números y después seis. Hacer lo mismo con diez números y después once.

Solución: Ver el primer comentario

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz. 

NUMEROS AMIGOS

Si dos números enteros cumplen la propiedad que la suma de los divisores de cada uno de ellos es igual al otro entonces los llamamos números amigos. Por ejemplo el 220 y el 284 son números amigos ya que

220 tiene como divisores a 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 y su suma es 284

284 tiene como divisores a 1, 2, 4, 71 y 142 y su suma es 220

Pero no es fácil obtener números amigos. El matemático árabe Thabit Ibn Qurra en el siglo IX encontró una regla para obtener números amigos que redescubrió Fermat con lo que obtuvo el segundo par de números amigos, el 17296 y el 18416. Descartes obtuvo el tercer par, el 9.363.584 y el 9.437.056. Y Euler, más tarde, llegó a obtener 59 pares.

¿Sabes decir dos números amigos que se les escaparon a estos grandes matemáticos?

Pista: Los dos números están entre 1100 y 1300.

Solución: Ver el primer comentario.

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz. 

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A comer helados...

A comer helados...

Una niña y media se come un helado y medio en un minuto y medio.

¿Cuántas niñas hacen falta para comerse 60 helados en media hora?

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz. 

 

ENCUENTRA EL NUMERO QUE FALTA

Un divertido ejercicio de ingenio consiste en encontrar el número que falta en una serie de números que siguen una determinada pauta. Por ejemplo en la siguiente tabla se debe encontrar el número que falta indicado por un interrogante.

 

6

4

9

3

7

6

8

2

1

?

5

5

 

Pista: Los números de cada fila siguen la misma pauta.

Solución: Ver primer comentario.

 

 

Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz. 

EL NÚMERO ÁUREO

EL NÚMERO ÁUREO

Os propongo el siguiente ejercicio de cálculo en una hoja de papel con una calculadora. Escribid una fila de números empezando con dos números 1 obteniendo el siguiente número a su derecha sumando los dos anteriores situados a la izquierda. Así tenemos el 2=1+1, el 3=2+1; 5=3+2; 8=5+3, etc.

.

Después calcularemos una fila inferior a la anterior dónde cada número con tres decimales se obtiene del número situado por encima dividido por el situado a la izquierda del situado por encima. Es decir 1,000 = 1/1; 2,000=2/1; 1,500=3/2; 1,667=5/3; 1,600=8/5; 1,625=13/8; 1,615=21/13, etc.

.

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

377

610

987

...


1,000

2,000

1,500

1,667

1,600

1,625

1,615

1,619

1,618

1,618

1,618

1,618

1,618

1,618

1,618

...

Podemos observar que a partir de un determinado momento el cociente que se obtiene en la fila inferior se repite en el número 1,618.

Si continuamos calculando números, ¿seguiremos obteniendo el número 1,618?

Solución:

Efectivamente, podemos llegar a calcular un número ilimitado de números y el cociente que obtendremos en la fila inferior siempre será 1,618. A este número le llamamos número áureo y es exactamente φ = (√5 + 1)/2 = 1,618033988749894...

Este número aparece en el Hombre de Vitruvio dibujado por Leonardo da Vinci. El cociente entre la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de los dedos de la mano es el número áureo. Al número áureo se le da un “aire” divino y aparece en numerosos ejemplos en la naturaleza, en música y en el arte.

 

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FERMAT Y PITAGORAS

FERMAT Y PITAGORAS

Si buscamos tres números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) que cumplan la condición de que la suma de los cuadrados de dos números es igual al cuadrado del otro número, no nos será difícil ya que estamos buscando x, y, z números naturales que verifican x2 + y2 = z2. Por ejemplo los números 3, 4 y 5 verifican la igualdad y decimos que verifican el teorema de Pitágoras y también los números 6, 8 y 10 entre otros.

Pero ¿podemos encontrar tres números naturales x, y, z que verifiquen que x3 + y3 = z3?

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EL PROFESOR OLVIDADIZO

En un clase de 30 alumnos de un instituto de secundaria, el profesor de matemáticas iba a entregar los resultados del último examen cuando se dio cuenta de que nos lo tenía en clase. Los alumnos le pidieron que como mínimo dijera cuántos habían aprobado. El profesor para salir de la situación en la que se encontraba les dijo que al 95 % de los que habían aprobado les gustaba el baloncesto.


¿cuántos alumnos aprobaron?

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ALGUNOS BAILARINES HAN DE SALIR DEL ESCENARIO

En una representación de danza, la directora coloca a los 36 bailarines formando un cuadrado de 6 columnas por 6 filas de bailarines.

Tras el primer ensayo, la directora le dice a 6 bailarines que salgan del escenario garantizando que queden un número par de bailarines en cada fila, en cada columna y en las dos diagonales. ¿Qué bailarines saldrán del escenario?

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UN REPARTO DE LIBROS

UN REPARTO DE LIBROS Tres amigos visitan una feria de libros usados. Uno de ellos compra 9 libros y otro 6 libros, todos ellos de la misma colección, gastándose todo su dinero. El tercero no se compra ningún libro, pero al cabo de varios días se arrepiente y les propone repartir los libros entre los tres a partes iguales y a cambio les da 30 euros a sus amigos.

¿Cuántos euros les corresponden a cada uno de la manera más justa?

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DIVERMATES: EL TABLERO INCOMPLETO

DIVERMATES: EL TABLERO INCOMPLETO Disponemos de un tablero de ajedrez al que le faltan las dos casillas blancas de las esquinas y de 31 fichas dobles donde cada una ocupa exactamente dos casillas del tablero.
¿Podemos cubrir todo el tablero incompleto de 62 casillas con las 31 fichas dobles? ¿Por qué?

Recomendación: Experimenta con un tablero de ajedrez y fichas de dominó.

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DUELO ENTRE TRES FORAJIDOS

Tres forajidos se encuentran al amanecer en un duelo a tres. Uno de ellos, que lleva sombrero blanco, siempre hace diana cuando dispara. Otro forajido, que lleva sombrero azul, es peor tirador ya que acierta dos de cada tres disparos. El tercer forajido, que lleva sombrero negro, sólo acierta uno de cada tres disparos. Los tres forajidos aceptan que dispararán en el siguiente orden: primero el forajido con sombrero negro, luego el de sombrero azul y por último el de sombrero blanco. Y así sucesivamente hasta que sólo sobreviva uno.
¿Hacia dónde debe dirigir su primer tiro el forajido de sombrero negro?



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