UNA SERIE INFINITA
Una serie infinita es sumar y restar un número infinito de números. En matemáticas lo infinito es una entidad ciertamente paradójica como comprobaréis al tratar la siguiente serie infinita:
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ....
¿cuál es el resultado de esta serie infinita de sumas y restas?
Pista: Sumar primero cinco números y después seis. Hacer lo mismo con diez números y después once.
Solución: Ver el primer comentario
Copyleft: Miguel Angel Murillo Díaz.
6 comentarios
Franz Ibañez -
Sea A = 1 - 1 + 1 - 1 ...
Agrupemos los n¨²meros de la derecha; de la siguiente forma:
A = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +...
En este caso, el n¨²mero A deber¨ªa ser 0, ya que todos los par¨¦ntesis suman 0. Luego se tendr¨ªa:
A = 0 + 0 + 0 + 0 + 0+ ...
Y por lo tanto A = 0 ser¨ªa la conclusi¨®n.
Por otro lado, agrupemos los n¨²meros de la derecha en A de otra forma:
A = 1+ (-1+1)+ (-1+1)+ (-1+1)+ (-1+1)+... (B)
Lo que hice fue agrupar los t¨¦rminos de manera diferente y us¨¦: -1+1=+ (-1+1)
Ahora, cada par¨¦ntesis en (B) suma 0 otra vez, y por lo tanto, se tiene el siguiente resultado:
A = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0...=1
Luego, A = 1
Por ¨²ltimo, vuelvo a la ecuaci¨®n (A) y agrupo los t¨¦rminos de otra forma.
A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -...) ¡ú (C)
(Es decir, agrupo todos los t¨¦rminos a partir del segundo, y el signo menos que figura adelante del par¨¦ntesis garantiza que todos los t¨¦rminos que quedan adentro aparezcan con el mismo signo que ten¨ªan al comienzo.)
Luego, si uno mira lo que queda dentro del par¨¦ntesis en advierte que queda exactamente A otra vez. Es decir, en (C) se tiene: A = 1 - A
O sea, pasando A del segundo miembro al primero, se tiene: 2A = 1
Luego, se concluye que A = (1/2)
Por lo tanto A = 1 - 1 + 1 -1 + 1 ...
Da:
A = 0
A = 1
A = 1/2
Al operar con sumas infinitas, se debe tener mucho cuidado porque las propiedades asociativas y conmutativas que valen para las sumas finitas, no necesariamente valen en el caso infinito.
En realidad, todo esto tiene que ver con lo que se llama estudio de la convergencia de las series num¨¦ricas y sus propiedades.
Omelik -
edgar -
SALOMON VERA ALEJO -
Si ( U_n) es una sucesión y s_n=U_1 + U_2 + U_3 + . U_n entonces 〖(s〗_n ) es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por:
〖∑_(n=1)^(+∞)▒= U〗_1+ U_2 + U_3 + . U_n +
Los números U_1 ,U_2 , U_3 , . U_n .. son los términos de la serie infinita.
EJEMPLO: Considere que la sucesión (1/ 2^(n-1)):
De esta sucesión se forma la sucesión de sumas parciales:
1 ,1/2, 1/4,1/8, 1/16 . ,1/2^(n-1)
Con esta sucesión se forma la sucesión de sumas parciales:
s_n= 1 s_n= 1
s_n=1 +1/2 s_n=3/2
s_n=1 +1/2+ 1/4 s_n=7/4
s_n= 1 +1/2+1/4+1/8 s_n=15/8
s_n=1+1/(2 ) +1/4 +1/8+1/16 s_n=31/16
Estela -
Yo leí en cierta ocasión que esa serie daba como resultado -1/2
Demostración.
a= 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1.....
a= 1 ( -1+1-1+1-1+1-1+1....)
a = 1-(1-1+1-1+1-1+1...)
a = 1-a
2a=1
a =1/2
Miguel Angel Murillo Díaz -
La serie no tiene solución ya que no siempre todo se puede sumar y restar. Escrita la serie de una manera equivalente (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 .... el resultado es 0 ya que cada operación entre paréntesis da como valor 0. Pero la misma serie se puede expresar como 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) .... = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + .... = 1. Es decir, la misma serie puede dar un valor 0 o un valor 1. En realidad es que no podemos sumarla hasta el infinito.